如何用FDM求解非定常线性对流方程

求解微分方程对工程师来说一直是一个挑战。这是因为微分方程有很多的变体，而且这些方程的复杂度随所涉及变量的数量和方程的顺序而变化。描述物理问题的微分方程是非常复杂的，不能用解析方法求解。因此，研究数值方法对工程师来说很重要。在这个项目中，您将通过求解线性对流方程来学习有限差分法(数值方法)。

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有限差分法是最简单的数值方法，它是探索更多数值方法的门户。无限差分法，只将值赋给节点。这是FDM的局限性，因为我们无法确定节点之间的值。

在FDM中，我们可以通过以下三种方式离散空间和时间，

在求解线性对流方程时，您将使用上述类型的离散化并计算结果。你必须观察结果是如何随着离散化技术的变化而变化的。

问题描述:

在一维无粘、恒压、等温流体流动中，管道长度为1米。U是流速为7m/s的流量的任意守恒变量。U的取值为-1.0unit，从0mm到0.33mm，从0.66mm到1.0mm。求出t=1.0秒时定义域内U的值。

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线性对流方程:微分方程的最简单形式是一维线性对流方程，它可以从Navier-Stokes方程推导出来。通过求解这个微分方程，我们可以确定流体的一种性质是如何沿区域对流的。
FDM:这是一种在数值分析中通过近似微分方程的导数来求解微分方程的离散化技术。在这里，我们将空间和时间离散到N个数据点中，我们将数据存储在那里，并随着时间的推移不断更新。
泰来斯级数展开:要实现有限差分法，必须知道函数的泰勒级数表示。在数学中，泰勒级数是将函数表示为无穷项的和，这些项是由函数在单点的导数值计算出来的。也就是说，如果一个函数是连续的并且我们知道它在某一点的导数，那么我们可以通过使用泰勒级数很容易地确定它在定义域下一个相邻点上的值。

首先，学习基本的数值方法。学习FDM与其他方法的区别，什么是节点，离散化，数值方法中的误差，截断误差，稳定性和收敛性。
然后学习泰勒级数展开的意义。用截断的泰勒级数对微分方程进行三种离散方法(FTFS, FTCS, FTBS)。
用FDM找到该方程的数值解。在这一步中，考虑从左到右(+ve方向)的流，并编写代码来离散域并与解决方案进行多次交互，直到您获得10e-5的精度并实现时间步1。将结果数据保存在文本文件中。
在此之后，考虑流从右向左(-ve方向)并执行步骤3中编写的任务。
在解决了上述两种情况后，您将得到6个结果数据。使用Gnuplot或Minitab绘制这些结果数据并进行比较。

项目简介:通过观察可以发现，FDM的使用依赖于信息流的方向，因为FTFS离散化只能在信息来自右侧(-ve方向)时产生结果，同样，当信息来自左侧(+ve方向)时，FTBS也会产生结果。FTCS无论信息流的方向如何，都会产生振荡的结果，因为它从错误的方向获取信息。

编程语言:C

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通过求解非定常线性对流方程理解有限差分法所需套件:

通过理解求解非定常线性对流方程的有限差分法，你将学到的技术:

2022世界杯亚洲区赛程表时间 •发表:2018-10-16•最后更新:2022-04-18